Congestión y funciones de costo
Modelar matemáticamente la congestión es central para después modelar el congestionamiento de los usuarios sobre la red.
Capacidad física: Número máximo de vehículos que pueden circular por hora en la vía.
Capacidad práctica: Número máximo de vehículos que pueden circular por hora sin estorbarse.
Disminución del nivel de servicio que ocurre cuando la demanda de un sistema aumenta.
Congestión vehicular: Aumento de flujo de vehículos, disminución de la velocidad. Deterioro en el nivel de servicio.
Congestión de transporte público: Aumento en el número de pasajeros en la estación, se traduce en disminución del Nivel de servicio asociado a un aumento en los tiempos.
Se considera interacción cuando el flujo que circula por algún tramo de la red en los costos de algún otro tramo.
Cuando las funciones de costo de algún tramo dependen de algún externo a ese tramo
Cómo se puede representar matemáticamente el fenómeno de la congestión, en un tramo por el que circulan vehículos?
Hay que relacionar el Nivel de Demanda contra el Nivel de Servicio, entendiendo que conforme aumenta la demanda, también el tiempo de viaje.
$t_f$: Tiempo de flujo libre a máxima velocidad de circulación dada por las características físicas de la vía y leyes de tránsito
Funciones BPR (Bareau of Public Road)
C(f)=\alpha+\beta \cdot \bigg( \frac{f}{k} \bigg)^n
$C(f)=$ tiempo o costo de viaje asociado al circular por el tramo cuando su flujo o demanda es $f$
C(f)=\alpha + \beta \cdot \bigg( \frac{0}{k} \bigg)^n=\alpha
$\alpha=$ tiempo de flujo libre
$k=$ (parametro) capacidad práctica del sistema
C(f)=\alpha + \beta \cdot \bigg( \frac{k}{k} \bigg)^n=\alpha+\beta
β= Aumento de los tiempos de viaje cuando el flujo alcanza la capacidad práctica.
$n=$ Calibra la curva
$n=1$ modela como una recta
$n>1=$ los tiempos de viaje crecen hasta superar la capacidad práctica
$n=1$ modela como una recta
$n>1=$ los tiempos de viaje crecen hasta superar la capacidad práctica
Interacciones de los usuarios
Se considera interacción cuando el flujo que circula por algún tramo de la red afecta en los costos de algún otro tramo.
Cuando las funciones de costo de algún tramo dependen de algún flujo externo a ese tramo.
Cuando las funciones de costo de algún tramo dependen de algún flujo externo a ese tramo.
Modelación de existencia de interaciones.
El costo de un tramo A puede ser función de los flujos de red, no solo del flujo propio del tramo A.
C_a=C_a(f)
$a=$ un tramo en particular
$F=$ vector de flujos de la red
$F=$ vector de flujos de la red
F=(fa_1, fa_2...)
Tipos de interacciones
1.
Sin interacciones
2.
Interacciones simétricas
3.
Interacciones asimétricas
Sin interacciones
Los costos de un tramo no se ven influidos por los flujos de otros tramos
Interacciones simétricas
Para dos tramos a y b, el efecto en los costos de "a" del flujo en "b" es igual al efecto en los costos de "b" del flujo de "a".
\frac{\partial C_a}{\partial f_b}=\frac{\partial C_b}{\partial f_a}, \forall a,b \in A
A: representa el conjunto de todos los arcos
Interacciones asimétricas
Cuando existen dos tramos "a" y "b", tal que el efecto de los costos de "a" del flujo en "b" difiere del efecto en los costos de "b" del flujo en "a"
\exists a, b \in A: \frac{\partial C_a}{\partial f_b}=\frac{\partial C_b}{\partial f_a}
Consideración asimétrica, crece con prioridad
Los vehículos que circulan por la vía primaria impiden el ingreso de los que circulan por la vía secundaria. Los de la vía secundaria no debiesen intervenir en los tiempos de la vía primaria.
\frac{\partial C_b}{\partial f_a}=0
\frac{\partial C_a}{\partial f_b}=0
\therefore \frac{\partial C_a}{\partial f_b} \neq \frac{\partial C_a}{\partial f_a}
Asignación y equilibrio de tráfico
¿Cómo los usuarios eligen rutas en una red de transporte?
Esta decisión se llama asignación.
La congestión vuelve el problema más complejo.
La asignación busca predecir las rutas que seguirán los usuarios entre un origen y un destino.
Un modelo de asignación es una función que, a partir de la oferta de la red (infraestructura y funciones de costo) y de la demanda (viajes entre orígenes y destinos), determina los flujos que se distribuyen en cada tramo de la red. Esta información depende directamente de las rutas que siguen los usuarios. Existen distintos tipos de problemas de asignación según el tipo de red: en el transporte privado, se consideran las vialidades urbanas y datos como tiempos de viaje y restricciones de viraje; en el transporte público, la red representa los servicios ofrecidos —como rutas de autobuses o trenes— junto con información relevante como tiempos de viaje, espera, tarifas y transbordos.
Una segunda forma de clasificar los problemas de asignación se basa en el nivel de conocimiento que el modelador asume sobre el comportamiento de los usuarios. El enfoque determinístico supone que, ante ciertas condiciones, todos los usuarios toman siempre la misma decisión, lo que facilita el análisis pero puede concentrar los viajes en pocas rutas y reducir el realismo. Además, pequeñas variaciones en los datos pueden generar cambios drásticos en el comportamiento. Para reducir este problema, se recurre a una asignación estocástica, que introduce variabilidad en las decisiones de los usuarios.
Bajo la asignación estocástica, en lugar de predecir una única ruta por usuario, el modelo calcula probabilidades de uso para distintas opciones, logrando una mejor distribución de la demanda. Sin embargo, en este curso solo abordaremos modelos determinísticos por simplicidad. Además, una distinción clave es si la asignación considera o no congestión. La congestión ocurre cuando un mayor uso de un recurso reduce su nivel de servicio. Para representarla, se emplean funciones de costo que muestran cómo el tiempo o costo de viaje aumenta a medida que crece el flujo en un tramo de la red.
En una situación sin congestión, la demanda no afecta los tiempos de viaje, lo que equivale a asumir capacidad ilimitada. Por ejemplo, si 80 automovilistas deben viajar de A a B y tienen dos rutas —una directa por un túnel y otra que rodea la montaña—, todos elegirán la ruta directa, ya que es la más rápida y no hay factores que la vuelvan más lenta al aumentar el número de usuarios.
Si la ruta uno presenta congestión, su tiempo de viaje aumenta conforme más automovilistas la usan. Parte de un tiempo base de 40 minutos y cada vehículo adicional añade 15 segundos al recorrido de todos. Así, si el flujo que usa esta ruta es F1, el tiempo total se calcula con una función que refleja ese incremento. En cambio, la ruta dos mantiene un tiempo fijo de 55 minutos sin congestión, por lo que su costo no varía con la demanda.
En este escenario, ningún usuario tiene un incentivo para cambiar de ruta, lo que significa que la asignación alcanzó un equilibrio . No se puede saber exactamente quién usa cada ruta, pero sí cuántas personas eligen cada una. El costo de viaje resultante es de 55 minutos, y este valor, junto con los flujos asignados, es un resultado clave del modelo. Formalmente, una asignación de equilibrio es aquella en la que ningún usuario puede reducir su costo individual cambiando unilateralmente de ruta.
En presencia de congestión, la asignación de equilibrio permite predecir cómo los usuarios se distribuirán espontáneamente en la red, especialmente en viajes frecuentes donde conocen bien sus opciones. El problema de asignación busca anticipar estas decisiones, y con congestión no basta asumir que todos tomarán la ruta más corta. Por eso se introduce el concepto de equilibrio: una situación en la que nadie puede mejorar su tiempo de viaje cambiando de ruta por cuenta propia.
Equilibrio de Wardrop
En condiciones de equilibrio en una red congestionada, el tráfico se distribuye de tal forma que todas las rutas utilizadas para un mismo par Origen–Destino tienen el mismo costo mínimo, mientras que las rutas no utilizadas presentan costos mayores o iguales.
Considerando dos nodos A-B conectados por dos arcos D1 y D2 se plantea encontrar el equilibrio de la red.
$D_2=55$ km
Tiempo libre de viaje = 44 minutos
Tiempo libre de viaje = 44 minutos
$D_1=60$ k
Tiempo libre de viaje = 36 minutos
Tiempo libre de viaje = 36 minutos
Considerar que para cada vehículo que entra en el sistema, el tiempo de viaje aumenta en 4 segundo para la ruta 1 y 5 segundos para la ruta 2.
Para la ruta 1
36 min + 4 segundos x N
36 minutos = 0.6 hrs = 3/5 hrs
36 minutos = 0.6 hrs = 3/5 hrs
4 segundos = 1/900 horas
\frac{3}{5}+\frac{N}{900}= \text{horas}
Calculamos la velocidad
\frac{60 \text{ km}}{(\frac{3}{5}+\frac{N}{900}) \text{ hrs}}=\dfrac{54000}{540 + N}
Para la ruta 2
44 min + 5 segundos x N
44 minutos = 0.733 hrs = 11/15 hrs
44 minutos = 0.733 hrs = 11/15 hrs
\frac{11}{15}+\frac{N}{720} = \text{ horas}
\frac{55 \text{ km}}{(\frac{11}{15}+\frac{N}{720}) \text{ hrs}}=\dfrac{39600}{528 + N}
Velocidad de circulación
En el eje $y$ se observa la velocidad en km/h y en el eje $x$ el número de vehículos
Tiempo de recorrido
El costo en horas por lo tanto será:
C_1=\frac{3}{5}+\frac{N}{900} ; C_2= \frac{11}{15}+\frac{N}{720}
¿Cuál de las dos ruta se deberá elegir para que el costo de viaje sea el mínimo?
\text{solve}\left(\frac{54000}{540+N}=60,x\right)\\
x=360
\text{solve}\left(\frac{39600}{528+N}=55,x\right)\\
x=192
Gráfico de Horas y No de vehículos
Ahora imaginemos un caso en el que 750 usuarios desean ir del punto A al B ¿Cuántos deberían ir para cada ruta sin retrasarse?
Costo óptimo del usuario
Ahora buscamos optimizar el costo individual de cada usuario de la red vial. Ningún usuario individual puede mejorar sus propios costos usando rutas alternas.
Aquí debemos recordar que el costo total del sistema no crece linealmente con el número de vehículos, sino que cada nuevo vehículo entra con un costo distinto a los anteriores. Por lo que usaremos integrales dado que la congestión es progresiva: cada vehículo enfrenta un costo distinto, y el área bajo la curva es la manera natural (y exacta) de sumar todos esos costos.
\text{Min } Z=\int_{0}^{N_1}C_1(u)du+\int_{0}^{N_2}C_2(v)dv
N_1+N_2=N_T
N_1+N_2\geq0
$C_1(x)$ y $C_2(x)$ Son las funciones de costo y $N_1$ y $N_2$ son los volúmenes vehiculares
\text{Min } Z=\int_{0}^{N_1}\left(\frac{3}{5}+\frac{x}{900} \right)dx+\int_{0}^{N_2}\left(\frac{11}{15}+\frac{x}{720}\right)dx
Z = \Bigg[ \frac{3}{5}x + \frac{1}{1800}x^{2} \Bigg]_{0}^{N_1}+ \Bigg[ \frac{11}{15}x + \frac{1}{1440}x^{2} \Bigg]_{0}^{N_2}
Z = \frac{3}{5}N_1 + \frac{N_1^²}{1800} +\frac{11}{15}N_2 + \frac{N_2^²}{1440}
N_1+N_2=750
N_2=750-N_1
Z=\frac{3}{4}N_1+\frac{N_2^²}{1800}+\frac{11}{15}(750-N_1)+\dfrac{(750+N_1)^2}{1440}
\frac{dz}{dN_1}=\frac{3}{5}+\frac{2N_1}{1800}-\frac{11}{15}-\frac{2(750-N_1)}{1440}=0
N_1=470
N_2=280
Para el tiempo total
\frac{3}{5}+\frac{470}{900}=1.122\bar{2}\text{ horas}
\frac{11}{15}+\frac{280}{720}=1.122\bar{2}\text{ horas}
Análisis de resultados
Para obtener las horas por vehículo
Cuando cada vehículo entra a una ruta, su tiempo de recorrido cambia según la con la congestión.
Área bajo la curva = Costo acumulado por ruta en equilibrio (minimización)
A esto se le conoce como el potencial de Beckman y representa:
La función potencial de Beckmann, que no es el tiempo total real, sino un instrumento matemático que sirve para encontrar el equilibrio de Wardrop sin simular vehículo por vehículo.
La integral suma incrementalmente los costos que pagaría cada vehículo al ir entrando (cuando el costo todavía no era 1.122 h para todos).
Es un costo potencial acumulado, no un costo observable.
Es menor que el total real porque no todos los vehículos enfrentaron la congestión máxima desde el principio —la integral va sumando desde cero.
Costo acumulado por usuario
Aquí obtenemos el tiempo recorrido en horas por el número de vehículos.
750\cdot1.122\bar2=841.5 \text{ horas x vehículo}
Esto representa:
El costo total real experimentado por todos los usuarios en el punto de equilibrio.
Cada vehículo está enfrentando el mismo tiempo de viaje (1.122 h) porque estamos en el "óptimo del usuario"
Es lo que normalmente se usa en análisis de congestión para medir la magnitud total del tiempo invertido por la población usuaria.
Es decir: “cuántas horas pasaron los vehículos dentro del sistema".
La diferencia entre ambos es la congestión creciente que pagan los últimos vehículos en entrar a la red.
Demanda de transporte
¿De que forma se puede estimar la demanda de transporte?
La idea es modelar utilizando la generación y distribución de viajes, y después la partición modal. Una vez teniendo estos datos añadimos la asignación de viajes.
Para resolver el problema de asignación necesitamos conocer la demanda, y la demanda se obtiene resolviendo la generación, distribución y partición modal.
¿Cómo obtenemos los datos?
Debemos estudiar la infraestructura, costos de viaje, y el origen y destino de los usuarios.
Obtención de la demanda
La obtención de la demanda no es tan fácil de obtener
No se puede obtener de manera individual, ya que serían demasiados datos.
La intención sería dividir por zonas el área que se va a estudiar. Se define un centroide que representa donde comienzan y terminan los viajes de su zona (agrupando el total de viajes).
Todo los viajes se agrupan en el centroide (agregar la demanda), entre más pequeña es la zona, menor el error de agregación. Pero más difícil es resolver el problema de estimación y equilibrio.
La información de la demanda corresponde a la cantidad de viajes que comienzan en cada posible origen y destino.
Matriz de demanda
$T_{ij}=$Demanda por viajes entre $i$ y $j$
Los viajes son por unidad de tiempo
¿Cómo estimamos la demanda?
\begin{array}{ccc}
T_{11} & T_{12} & ... & \\
T_{21} & T_{22} & ... & \\
. & .& & \\
. & & .& \\
. & & & \\
\end{array}
Este modelo responde las siguientes preguntas:
¿Cuántos viajes se generan en cada zona?
¿Cuántos viajes se atraen de cada zona?
Se estudia cada zona y se determina para cada un de ellas:
Número de viajes que comienzan en la zona.
Número de viajes que terminan
$O_i \rightarrow i \rightarrow D_i$
Podemos hacer estimaciones por regresión lineal conociendo la población, taza de mortización, uso de suelo, etc.
Una vez conocidos los valores de generación, construimos la matriz de demanda. ¿Cómo se distribuyen estos viajes?
La última etapa es predecir los viajes $T_{ij}$. Qué modo de transporte se usará para viajar.
Aquí viajan $T_{ij}$ pasajeros ¿Cuántos deciden ir en auto y autobús?
Modelo de asignación de viajes: Obtenemos una matriz de demandara cada modo en particular
Se debe generar una matriz de demanda por nodo
Equilibrio de tráfico y de mercado
El modelo de cuatro etapas predice la distribución de flujos en una ciudad. Las tres primeras etapas generan la matriz de demanda, que luego se usa en la etapa de asignación para combinar oferta y demanda. Si la red está congestionada, la asignación se modela como un equilibrio en el que ningún usuario puede mejorar su tiempo de viaje cambiando de ruta.
El equilibrio de tráfico ocurre cuando, con una demanda fija, ningún usuario puede mejorar su viaje cambiando de ruta. En el modelo de cuatro etapas, el modelo de distribución determina cómo se reparten los viajes entre pares origen-destino, dependiendo principalmente del costo de viaje. Este proceso suele modelarse con enfoques gravitacionales, donde los viajes se asignan en función de la accesibilidad o impedancia entre zonas, antes de pasar al modelo de partición modal.
Para repartir el flujo entre distintos modos de transporte se necesita conocer el costo de viaje entre cada par origen–destino para cada modo. El problema es que, en una red con congestión, esos costos dependen de cómo se asignan los viajes, es decir, del resultado de la propia etapa de asignación de tráfico. Por tanto, existe una dependencia circular: los costos son necesarios para estimar la demanda, pero la demanda debe conocerse para calcular los costos. En resumen, las tres primeras etapas del modelo deben usarse de forma conjunta para estimar la matriz de demanda antes de resolver la asignación.
La forma en que viajamos por la ciudad depende de los costos entre cada par origen–destino. El modelo de asignación calcula estos costos, pero ellos también dependen de la matriz de demanda, creando un ciclo de interdependencia entre oferta y demanda. Resolver el modelo clásico de cuatro etapas implica hallar un equilibrio entre ambas, conocido como equilibrio de mercado. En este, los costos y la demanda son coherentes entre sí; mientras que en el equilibrio de tráfico, la demanda se considera fija y conocida.
En el equilibrio de mercado, la demanda es variable y resulta del propio equilibrio entre oferta y demanda, abarcando al equilibrio de tráfico como caso particular. Así, un sistema en equilibrio de mercado también está en equilibrio de tráfico. Así que ahora sabemos que existen dos tipos de equilibrio en redes de transporte: el equilibrio de tráfico, con demanda fija donde ningún usuario puede mejorar su viaje cambiando de ruta, y el equilibrio de mercado, con demanda variable determinada por los costos y condiciones del sistema.