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Teoría de colas
La teoría de colas en esta materia sirve para dimensionar, evaluar y optimizar la operación de terminales y áreas de transferencia, cuantificando tiempos de espera, niveles de saturación y capacidad requerida de la infraestructura.
A partir de parámetros como la tasa de llegada de pasajeros y la capacidad de atención, es posible estimar indicadores operativos clave: tiempo de espera, longitud de filas, utilización de recursos y probabilidad de congestión. Estos indicadores permiten tomar decisiones técnicas sobre cuántos accesos, andenes o módulos deben instalarse, así como evaluar si la infraestructura existente es suficiente bajo condiciones de demanda actual o futura.

M/M/1 y M/M/c

Se le llama M/M/1 por la notación estándar de Kendall para clasificar sistemas de colas.
Un sistema M/M/1 describe:
“Una fila donde los pasajeros llegan de forma aleatoria, son atendidos con tiempos variables, y existe un solo punto de servicio.”___
M/M/1 significa:
Primera M → tipo de llegadas (Markovianas)
Segunda M → tipo de servicio (Markoviano)
1 → número de servidores
La notación general es:
A / S / c
donde:
(A): distribución de tiempos entre llegadas
(S): distribución de tiempos de servicio
(c): número de servidores

¿Qué significa “M”?

“M” viene de Markovian, lo cual implica:
Los tiempos siguen una distribución exponencial
El proceso de llegadas es Poisson
No hay memoria (justo como las cadenas de Markov)
Con la fórmula se ve así:
P(\text{evento en } t+\Delta t \mid \text{historia}) = P(\text{evento en } \Delta t)
Esto significa que el sistema no depende del pasado, solo del estado actual.

Primera M: llegadas

M \Rightarrow \text{Llegadas Poisson}
Pasajeros llegan de forma aleatoria
No hay intervalos fijos
Hay variabilidad natural (ráfagas, huecos)

Segunda M: servicio

M \Rightarrow \text{Servicio exponencial}
El tiempo de atención no es constante
Algunos pasajeros pasan rápido, otros tardan más
Existe variabilidad operativa

El “1”

1 \Rightarrow \text{un solo servidor}
Ejemplos:
Un torniquete
Una taquilla
Un carril de acceso
Sistema de colas en terminales
Un área de transferencia puede modelarse como:
Llegadas de pasajeros → proceso estocástico (λ)
Servicio (embarque, validación, ascenso) → tasa μ
Servidores → número de módulos (c)
Ejemplos:
Torniquetes del Metro
Andenes de autobuses
Taquillas o validadores

Modelo M/M/1

Supuestos:
Llegadas Poisson
Servicio exponencial
1 servidor
Parámetros:
λ = tasa de llegada (pasajeros/min)
μ = tasa de servicio (pasajeros/min)
Indicadores clave:
Utilización:
\rho = \frac{\lambda}{\mu}
Número promedio en sistema:
L = \frac{\lambda}{\mu - \lambda}
Tiempo promedio en sistema:
W = \frac{1}{\mu - \lambda}

Interpretación operativa

Si ρ → 1 ⇒ saturación
Si ρ < 0.7 ⇒ operación estable
Si ρ > 0.85 ⇒ riesgo de colapso
Aplicación:
Dimensionamiento de torniquetes
Número de andenes activos
Frecuencia de salida de unidades
Ejercicio
Problema:
En una terminal:
Llegan 180 pasajeros cada 10 minutos
Cada torniquete atiende 25 pasajeros/min
1.
Calcular λ y μ
2.
Evaluar con 1 torniquete (M/M/1)
3.
Evaluar con 2 torniquetes (M/M/2)
4.
Comparar tiempos de espera

Paso 1: tasas

\lambda = \frac{180}{10} = 18 \text{ pas/min}
\mu = 25 \text{ pas/min}

Caso 1: M/M/1

\rho = \frac{18}{25} = 0.72
W = \frac{1}{25 - 18} = \frac{1}{7} = 0.143 \text{ min} \approx 8.6 \text{ s}

Caso 2: M/M/2

\rho = \frac{18}{2(25)} = 0.36
Resultado:
Mucho menor congestión
Sistema sobredimensionado (posible ineficiencia económica)
“El sistema opera con ρ = 0.92, requiere aumento de capacidad o redistribución de flujo”