Calibración de modelo macroscópico
Implica recolectar datos apropiados y ajustar los daos al modelo adecuado. Normalmente se hace con un análisis de regresión.
y=a+bx
a=\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}{y_i}- \frac{b}{n} \sum^{n}_{i=1}x_i= \bar{y}-b \bar{x}
b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2},
\qquad \text{donde}\ \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,\ \bar y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i.
R^²=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar{y})^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}
Ejercicio: Greenshields
$y_i$, Velocidad (mi/h)
$x_i$, Densidad (veh/mi)
$x_i * y_i$
$x_i^2$
$y_i^2$
53.2
20
1064
400
2830.24
48.1
27
1298.7
729
2313.61
44.8
35
1568
1225
2007.04
40.1
44
1764.4
1936
1608.01
37.3
52
1939.6
2704
1391.29
35.2
58
2041.6
3364
1239.04
34.1
60
2046
3600
1162.81
27.2
64
1740.8
4096
739.84
20.4
70
1428
4900
416.16
17.5
75
1312.5
5625
306.25
14.6
82
1197.2
6724
213.16
13.1
90
1179
8100
171.61
11.2
100
1120
10000
125.44
8
115
920
13225
64
404.8
892
20619.8
66628
14588.5
28.91428571
63.71428571
\bar{v_s}= u_f-\frac{u_f}{k_j}k
\bar{v_s}=y
\bar{v_f}=a
\frac{\bar{u_f}}{k_j}=b
a=28.91-63.71 b
b=\frac{20614.8 - \frac{892 \cdot 404.8}{14}}{66628-\frac{892^²}{14}}=-0.53
a=28.91-63.71(-0.53)=62.28
\frac{k_f}{k_j}=b
\frac{u_f}{k_j}=0.53
k_j=118 \text{ veh/mill}
\frac{118}{1.609344}=73.3 \text{ veh/lm}
\bar{v_s}=62.68-0.53k
R^²\approx 0.95
q_{max}=\frac{k_j\cdot{}u_f}{4}=\frac{1181}\cdot{62.28}{4}=1849 \text{ veh/h}
Velocidad de flujo máximo
v_0=\frac{u_f}{2}
\frac{62.98}{2}=31.3 \text{ mill/h}
31.3 \cdot 1.609344=50.3 \text{ km/h}
Densidad por la que el flujo es máximo
k_0=\frac{k_j}{2}
\frac{74}{2}=37 \text{ veh/km}
Ejercicio: Greenberg
$y_i$, Velocidad (mi/h)
$x_i$, Densidad (veh/mi)
$x_i, Ln*k_i$
$x_i * y_i$
$x_i^2$
$y_i^2$
53.2
20
2.995732274
159.372957
8.974411855
2830.24
48.1
27
3.295836866
158.5297533
10.86254065
2313.61
44.8
35
3.555348061
159.2795932
12.64049984
2007.04
40.1
44
3.784189634
151.7460043
14.32009119
1608.01
37.3
52
3.951243719
147.3813907
15.61232692
1391.29
35.2
58
4.060443011
142.927594
16.48719744
1239.04
34.1
60
4.094344562
139.6171496
16.76365739
1162.81
27.2
64
4.158883083
113.1216199
17.2963085
739.84
20.4
70
4.248495242
86.66930294
18.04971182
416.16
17.5
75
4.317488114
75.55604199
18.64070361
306.25
14.6
82
4.406719247
64.33810101
19.41917452
213.16
13.1
90
4.49980967
58.94750668
20.24828707
171.61
11.2
100
4.605170186
51.57790608
21.20759244
125.44
8
115
4.744932128
37.95945703
22.5143809
64
404.8
892
56.7186358
1547.024378
233.0368842
14588.5
28.91428571
63.71428571
4.051331128
\bar{u_s}=c\cdot ln(\frac{k_j}{k})
\bar{u_s}=c\cdot ln(k_j)-c \cdot ln(k)
\bar{u_s}=y; c\cdot ln(k_j)=a; c=b; ln(k)=x
a=28.91-4.05b
b=\dfrac{1547.02-\dfrac{56.72\cdot 404.8}{14}}{233.04 -\frac{56.75^²}{14}}
a=28.91-4.05(-28.68) = 145.06
a=145.06; b=-28.68; c=28.68
c\cdot ln(k_j)=a
\frac{145,06}{28.68}=5.05
ln(k_j)=5.05
k_j=e^{5.05}=157 \text{ veh/h}
\bar{u_s}=28.68\cdot ln(\frac{157}{58})
k_c=\frac{k_j}{e}=58 \text{ veh/mill}
Flujo máximo
q_{max}=c\frac{k_j}{e}
28.68 \cdot \frac{157}{2.71}=1656 \text{ veh/h}
q_{max}=k_c \cdot c
58 \cdot 28.68 = 1663 \text{ veh/h}
R^²\approx 0.978
r=\dfrac{n \sum{xy}-\sum{x} \cdot \sum{y}}{\sqrt{[n\sum{x^²}-(\sum{x}^²)]\cdot[n \sum{y^²}-(\sum{y})^²]}}
Análisis de fluido ideal Navier Stokes
Hipótesis del medio continuo
Aunque los vehículos son discretos, a escala macroscópica se trata el tráfico como un fluido en "1D" que se desplaza sobre la vialidad "x".
k(x,t)= Densidad en un punto y tiempo determinado.
q(x,t)=k(x,t) \cdot v(x,t)
Navier Stokes
\rho(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot \nabla)v)=-.\nabla p + \mu \nabla^²\vec{v}+\vec{f}
Presión $p$= Presión de tráfico: Tendencia coectiva a mantener espacio/seguridad (más presión cuando sube la densidad)
Viscosidad $\mu$= Difusión/anticipación: Conductores suavizan diferencias de velocidad (aceleran o frenan bruscamente si el de adelante cambia)
Fuerzas externas= Límite de velocidad, pendientes, señales, incidentes
Si de repente sube la densidad adelante ¿Esperas que el gradiente de presión de tráfico haga que la velocidad aguas abajo, suba o baje?
Conservación más ecuación de movimiento
En el tráfico macroscópico lo indispensable es la conservación de vehículos. Es decir, no se crean ni se destruyen, sino hay accesos ni salidas)
Se utiliza el modélo matemático Lighthill - Whitham - Richards que expresa el principio de conservación de vehículos.
LWR=\dfrac{\partial k}{\partial t}+ \frac{\partial q}{\partial x}=0
El cambio de densidad en el tiempo es igual a la entrada menos la salida de vehículos
Si más vehículos entran que los que salen en un tramo: La densidad aumenta
Si más vehículos salen que los que entran en un tramo: la densidad disminuye
Si entran la misma cantidad que los que salen: La densidad es constante
Para acercarlos a Navier Stokes añadiré la ecuación del "momento" Payne-Whitham que permite ver la evolución de $v$
\dfrac {\partial v}{\partial t}+v \dfrac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{k} \cdot \dfrac{\partial p(k)}{\partial x}+ \nu \dfrac{\partial^²v}{\partial x^²}+ \dfrac{V(k)-v}{\tau}
$p(k)$: Función de presión de tráfico (crece con $k$)
$\nu$: Coeficiente de difusión (suavis¡za gradientes de velocidad)
$V(k)$: Velocidad deseada (decrece con $k$)
$\tau$: Tiempo de relajación (que tan rápido ajustan su velocidad)
Relación:
\dfrac{V(k) -v}{\tau}=\text(Aceleración)
Describe como los conductores ajustan gradualmente su velocidad para vanzar a la velocidad deseada.
Relajación: Proceso mediante el cuál un sistema regresa a su estado de equilibrio después de una perturbación. (Los conductores o hacen de forma progresiva)
1.
1.
$V(k)-v>0$: Aceleración positiva, el conductor acelera para alcanzar la velocidad deseada (salir de un semáforo)
2.
$v>V(k)$: Voy más rápido de lo deseado.
1.
$V(k)-v<0$: Aceleración negativa, el conductor frena para reducir la velocidad (veo tráfico adelante)
3.
$v=V(k)$: Velocidad deseada
Difusión anticipada:
\nu \dfrac{\partial^²v}{\partial x^²}
Representa la anticipación de los conductores al observar variaciones espaciales en la velocidad del tráfico adelante.
\dfrac{\partial^²v}{\partial x^²}
\dfrac{\partial^²v}{\partial x^²}>0
\frac{\partial^²v}{\partial x^²}<0
\dfrac{\partial^² v}{\partial x^²}=0
Esta segunda derivada mide la curvatura del perfil de velocidades. Detecta cambios en la tasa de cambio de velocidad.
El tráfico adelante está acelerando cada vez más rápido.
El tráfico adelante está frenando progresivamente
Cambio de velocidad uniforme
El coeficiente $\nu$ determina la fuerza de la anticipación
$\nu$ grande: Conductores precavidos o anticipados
$\nu$ pequeño: Conductores menos anticipados (mayor stop and go)
Presión:
\frac{1}{k} \cdot \frac{\partial p(k)}{\partial x}
Aceleración:
\frac {\partial k}{\partial t}+\frac{\partial q}{\partial x}=0
Conservación y cierre con diagrama fundamental
\frac {\partial k}{\partial t}+\frac{\partial Q(k)}{\partial x}=0 \Rightarrow \frac{\partial k}{\partial t}+Q´(k)\frac{\partial k}{\partial x}=0
Ley de conservación hiperbólica $\lambda(k)=Q´(k)$
$\lambda(k)$: Velocidad de onda o característica del sistema
La velocidad depende de la densidad, por ello no es lineal
Onda de choque y abanicos
Shock wave en tráfico es una discontinuidad movil de la densidad vehicular. Cambio brusco y repentino en las condiciones de tráfico que se propagan a lo largo de la vida.
Formula Rankive - Hugoniot
s=\frac{Q(k_R)-Q(k_L)}{k_R - k_L}
$k_L \rightarrow$ Densidad izquierda Aguas arriba (antes de que llegue la onda)
$k_R \rightarrow$ Densidad derecha aguas abajo (después de pasar la onda)
$s \rightarrow$ Velocidad de propagación $(\frac{km}{h})$
Ejemplo:
Frenado repentino
Semáforo en rojo
Accidentes
$s>0:$ La onda se mueve en dirección del tráfico
$s<0$: La onda se mueve en dirección opuesta al tráfico
$s=0$: Onda estacionaria
Ejercicio 1:
$v_f=90 \frac{km}{h}$
$k_j=150 \frac{veh}{h}$
Usando Greenshields
q=v_f \cdot k - (\frac{v_f}{k_j})k^²
Q(k)=90k-(\frac{90}{150})k^²=90k-0.6k^²
Comparando los estados
$k_L=20$
$k_R=100$
Q(k)=90(20)-0.6(20^²)=1800-240=1560 \frac{\text{ veh}}{\text{ h}}
Q(k)=90(100)-0.6(100^²)=3000 \frac{\text{ veh}}{\text{ h}}
Velocidad de choque
s=\dfrac{3000-1560}{100-20}=18\frac{\text{ km}}{\text{ h}}
$s>0$, Movimiento a la derecha
La densidad aumenta de 20 a 100, se está congestionando
El flujo aumenta 1560 a 3000
La onda avanza hacia adelante porque el flujo aguas abajo es mayor